Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker (Mathematiker; lehnte Cantors transfinite Zahlen ab)
Wie kann man wissen, ob eine Zahl existiert oder nicht? Die einen meinen, man müsste eine Zahl schon konstruieren (also irgendwie berechnen) können, sonst existiert sie nicht. Andere meinen, es genügt der Nachweis der Widerspruchsfreiheit, dann können sie die Existenz der Zahl akzeptieren. Und wieder andere meinen, solange kein Widerspruch nachgewiesen wurde, existiert die Zahl. Punkt.
Da wollen wir doch schauen, wie das mit ein paar einfachen Beispielen aussieht. Welche der folgenden drei Zahlen existiert?
(1) die Zahl -1 („minus eins“)
(2) die Zahl SQRT(-1) („Wurzel aus minus eins“)
(3) die kleinste uninteressante Zahl.
Fangen wir an!
(1) Negative Zahlen waren im Abendland lange verpönt, denn von 5 Äpfeln kann man doch nicht 7 Äpfel abziehen! Erst als Kaufleute eine einleuchtende Interpretation (Deutung) der negativen Zahlen als Schulden fanden, konnten sie sich allmählich durchsetzen. Fazit: erst nein, dann ja.
(2) Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert minus eins ergibt. Denn +1 x +1 = +1, und -1 x -1 = +1. Also kann es diese Zahl nicht geben, auch wenn solche Zahlen bei der Lösung von Gleichungen gelegentlich auftauchten und durchaus nützlich waren. Doch Euler nannte sie „imaginäre Zahlen“ und rechnete unbekümmert mit ihnen. Gauß gab ihnen eine interessante Interpretation: Die Wurzel aus -1 bewirkt eine Drehung der Zahlengeraden um 90° nach links. Heute ist ihre Verwendung in Mathematik, Physik und Technik gang und gäbe. Die gesamte Wechselstromtechnik käme ohne sie gar nicht mehr aus! Fazit: siehe (1).
(3) Eine Zahl ist (nach unserer Definition) dann uninteressant, wenn sie nicht interessant ist. Eine Zahl ist dann interessant, wenn wir sie interessant finden, was sicher nicht bei allen unendlich vielen Zahlen der Fall sein kann. Also gibt es uninteressante Zahlen. Weil man die in eine Reihenfolge bringen kann, existiert unter ihnen auch eine kleinste. Aber: Gerade weil sie die kleinste uninteressante Zahl ist, wird sie wieder interessant! Und damit kann sie nicht mehr uninteressant sein. Weil man das Argument beliebig oft fortsetzen kann, folgern wir daraus mit einigem Staunen: Es kann keine uninteressanten Zahlen geben!
Aus diesen einfachen Beispielen sieht man, dass man bei der Definition von Zahlen höllisch aufpassen muss. Was ungewöhnlich erscheint, kann ganz normal sein. Was harmlos aussieht, kann sich als Fallstrick entpuppen. Im Unendlichen gilt das noch viel mehr.